Giả sử hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( 0;+\infty \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=e,f\left( x \right)={f}'\left( x \right).\sqrt...

* Hướng dẫn giải

Xét \(x\in \left( 0;+\infty  \right)\) và \(f\left( x \right)>0\) ta có: \(f\left( x \right)={f}'\left( x \right).\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}.\)

\(\Rightarrow \int{\frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{3x+1}}dx}\Leftrightarrow \int{\frac{1}{f\left( x \right)}d\left( f\left( x \right) \right)}=\frac{2}{3}\int{\frac{1}{2\sqrt{3x+1}}d\left( 3x+1 \right)}\)

\(\Rightarrow \ln \left( f\left( x \right) \right)=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C}}\)

Theo bài \(f\left( 1 \right)=e\) nên \({{e}^{\frac{4}{3}+C}}=e\Rightarrow C=-\frac{1}{3}\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\frac{1}{3}}}\)

Do đó \(f\left( 5 \right)\approx 10,3123\Rightarrow 10<f\left( 5 \right)<11.\)