Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng\(/\,{{m}^{2}}\). Hỏi cần bao n...

* Hướng dẫn giải

Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là.

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=36\). Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình \(y=\sqrt{36-{{x}^{2}}}=f(x)\). Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị.

y=f(x) và hai đường thẳng \(x=-3;\,\,x=3\Rightarrow S=2\int\limits_{-3}^{3}{\sqrt{36-{{x}^{2}}}dx}\)

Đặt \(x=6\sin t\Rightarrow dx=6\cos tdt\). Đổi cận : \(x=-3\Rightarrow t=-\frac{\pi }{6}; x=3\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}\)

\(\Rightarrow S=2\int\limits_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\text{36co}{{\text{s}}^{2}}tdt=36}\int\limits_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{(c\text{os2t+1})dt=18\left. (sin2t+2t) \right|}_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}=18\sqrt{3}+12\pi \)

Do đó số tiền cần dùng là \(70000.S\approx 4821322\) đồng.