Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2018 của tham số m để phương trình \({{\log }_{6}}\left( 2018x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1009x \right)\) có nghiệm là

* Hướng dẫn giải

Đặt \({{\log }_{6}}\left( 2018x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1009x \right)=t\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2018x+m={{6}^{t}} \\ & 1009x={{4}^{t}} \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow 2.\,{{4}^{t}}+m={{6}^{t}} \Leftrightarrow m=-2.\,{{4}^{t}}+{{6}^{t}}\).

Đặt \(f\left( t \right)=-2.\,{{4}^{t}}+{{6}^{t}}\). Ta có: \({f}'\left( t \right)={{6}^{t}}\ln 6-2.\,{{4}^{t}}.\ln 4\).

Xét \({f}'\left( t \right)=0\Rightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{2\ln 4}{\ln 6}={{\log }_{6}}16 \Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( {{\log }_{6}}16 \right)\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \(f\left( t \right)=m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m\ge f\left( {{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( {{\log }_{6}}16 \right) \right)\approx -2,01\)

Mà \(\left\{ \begin{align} & m<2018 \\ & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right.\) nên ta có: \(\left\{ \begin{align} & -2\le m\le 2017 \\ & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right.\).

Vậy có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.