Xét các số phức z=a+bi, \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}\). Tính F=-a+4b khi \(\left| z-\...

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}} \Leftrightarrow 4\left( a+bi-a+bi \right)-15i=i{{\left( a+bi+a-bi-1 \right)}^{2}} \Leftrightarrow 8b-15={{\left( 2a-1 \right)}^{2}}\) suy ra \(b\ge \frac{15}{8}\).

\(\left| z-\frac{1}{2}+3i \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2b+6 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{8b-15+4{{b}^{2}}+24b+36}=\frac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}+32b+21}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=4{{x}^{2}}+32x+21\) với \(x\ge \frac{15}{8}\)

\({f}'\left( x \right)=8x+32>0,\forall x\ge \frac{15}{8}\) suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ \frac{15}{8};+\infty  \right)\) nên \(f\left( x \right)\ge f\left( \frac{15}{8} \right)=\frac{4353}{16}\)

Do đó \(\left| z-\frac{1}{2}+3i \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4353}{16}}\) khi \(b=\frac{15}{8};a=\frac{1}{2}\)

Khi đó F=-a+4b=7.