Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a,\widehat{ABC}={{60}^{0}},\) cạnh bên \(SA=\sqrt{2}a\) và SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa SB và (SAC).

* Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Do ABCD là hình thoi nên \(BO\bot AC\left( 1 \right).\)

Lại có \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BO\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(BO\bot \left( SAC \right)\)

Vậy \(\left( SB,\left( SAC \right) \right)=\left( SB,BO \right)=\widehat{BSO}\)

Trong tam giác vuông BOA, ta có \(\widehat{ABO}={{30}^{0}}\) nên suy ra \(AO=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\) và \(BO=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Trong tam giác vuông SAO, ta có

\(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3a}{2}.\)

\(BO\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BO\bot SO\Rightarrow \Delta SOB\) vuông tại O.

Ta có \(\tan \widehat{BSO}=\frac{BO}{SO}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{2}{3a}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\)

Vậy \(\left( SB,\left( SAC \right) \right)=\left( SB,SO \right)=\widehat{BSO}={{30}^{0}}.\)