Bất phương trình \({{9}^{x}}-2\left( x+5 \right){{3}^{x}}+9\left( 2x+1 \right)\ge 0\) có tập nghiệm là \(S=\left[ a;b \right]\cup \left[ c;+\infty \right).\) Tính tổng a+b+c

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{3}^{x}},t>0.\) Khi đó bất phương trình đã cho trở thành

\({{t}^{2}}-2\left( x+5 \right)t+9\left( 2x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( t-9 \right)\left( t-2x-1 \right)\ge 0.\)

* Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l} t - 9 \ge 0\\ t - 2x - 1 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t \ge 9\\ t - 2x - 1 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {3^x} \ge 9{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ {3^x} - 2x - 1 \ge 0.{\rm{ }}\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

Xét bất phương trình \(\left( 2 \right):\)

Đặt \(g\left( x \right)={{3}^{x}}-2x-1\) trên \(\mathbb{R}.\) Ta có \(g'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-2.\)

Gọi \({{x}_{0}}\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(g'\left( x \right)=0,{{x}_{0}}>0.\)

Khi đó, \(g\left( x \right)=0\) có nhiều nhất hai nghiệm.

Xét thấy, \(g\left( x \right)=0\) có hai nghiệm là x=0 và x=1.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x\le 0 \\ & x\ge 1 \\ \end{align} \right..\)

Mặt khác \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ge 2.\)

Kết hợp \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(x\ge 2\) (*)

* Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l} t - 9 \le 0\\ t - 2x - 1 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t \le 9\\ t - 2x - 1 \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {3^x} \le 9\\ {3^x} - 2x - 1 \le 0 \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \left( 3 \right)\\ \left( 4 \right) \end{array}\)

Xét bất phương trình \(\left( 4 \right):\)

Đặt \(g\left( x \right)={{3}^{x}}-2x-1\) trên \(\mathbb{R}.\) Ta có \(g'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-2.\)

Gọi \({{x}_{0}}\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(g'\left( x \right)=0,{{x}_{0}}>0\)

Khi đó, \(g\left( x \right)=0\) có nhiều nhất hai nghiệm.

Xét thấy, \(g\left( x \right)=0\) có hai nghiệm là x=0 và x=1

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \(\left( 4 \right)\Leftrightarrow 0\le x\le 1.\)

Mặt khác, \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow x\le 2.\)

Kết hợp \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra \(0\le x\le 1.\left( ** \right)\)

Kết hợp (*) và (**) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\left[ 0;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty  \right).\)

Vậy tổng a+b+c=3.