Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| {{x}^{2}}+2x+m-4 \right|\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right]\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của m là

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+m-4\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right].\) Ta có \(f'\left( x \right)=2x+2=0\Leftrightarrow x=-1.\)

Ta có \(f\left( -2 \right)=m-4,f\left( 1 \right)=m-1\) và \(f\left( -1 \right)=m-5.\)

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là \(\max \left\{ \left| m-4 \right|,\left| m-1 \right|,\left| m-5 \right| \right\}.\)

Ta thấy m-5<m-4<m-1 nên \(\left| m-4 \right|<\max \left\{ \left| m-1 \right|,\left| m-5 \right| \right\}.\) Do đó

\(\max \left\{ \left| m-4 \right|,\left| m-1 \right|,\left| m-5 \right| \right\}=\max \left\{ \left| m-1 \right|,\left| m-5 \right| \right\}\).

Đặt \(A=m-1=\left( m-3 \right)+2\) và \(m=m-5=\left( m-3 \right)-2.\)

      * \(m-3>0\Rightarrow \max \left\{ \left| A \right|,\left| B \right| \right\}\ge \left| A \right|>2.\)

      * \(m-3<0\Rightarrow \max \left\{ \left| A \right|,\left| B \right| \right\}\left| B \right|>2.\)

      * \(m-3=0\Rightarrow \max \left\{ \left| A \right|,\left| B \right| \right\}=\left| A \right|=\left| B \right|=2.\)

Vậy để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì m=3.