Có tất cả bao nhiêu cặp số thực \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|-{{\log }_{3}}5}}={{5}^{-\left( y+4 \right)}}$ và $4\le...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({{5}^{-\left( y+4 \right)}}={{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|-{{\log }_{3}}5}}\ge {{3}^{-{{\log }_{3}}5}}\Rightarrow {{5}^{-\left( y+4 \right)}}\ge {{5}^{-1}}\Rightarrow -\left( y+4 \right)\ge -1\Rightarrow y\le 3.\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=3 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(4\left| y \right|-\left| y-1 \right|+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\le 8\Leftrightarrow -4y-\left( 1-y \right)+{{y}^{2}}+6y+9\le 8\Leftrightarrow {{y}^{2}}+3y\le 0\Leftrightarrow -3\le y\le 0.\)

Kết hợp với điều kiện \(y\le -3\) ta suy ra y=-3.

Với y=-3, ta có \(\left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=3 \\ \end{align} \right..\)

Vậy có đúng hai cặp số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\left\{ \begin{align} & x=-1 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right.\) và \(\left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right..\)