Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}+3x}{{{x}^{2}}+3x+2}dx}=a+b\ln 2+c\ln 3\) với a, b, c là các số hữu tỉ, tính \(S=2a+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}+3x}{{{x}^{2}}+3x+2}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( x-3-\frac{4}{x+1}+\frac{14}{x+2} \right)dx}\)

\(=\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-3x-4\ln \left| x+1 \right|+14\ln \left| x+2 \right| \right)\left| \begin{align} & 1 \\ & 0 \\ \end{align} \right.=-\frac{5}{2}-18\ln 2+14\ln 3.\)

Vậy \(a=-\frac{5}{2},b=-18,c=14.\) Khi đó tổng \(S=2a+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=515.\)