Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\) và nửa đường tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) với \(-2\le x\le 2\) (phần tô đậm tro...

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm là \(x=\pm 1.\) Do đó diện tích cần tìm là

\(S=\int\limits_{-1}^{1}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-\sqrt{3}{{x}^{2}} \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}-\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}=I-\frac{2\sqrt{3}}{3},\) với \(I=\int\limits_{-1}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\)

Để tính I đặt \(x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt.\)

Nên \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{4{{\cos }^{2}}tdt}=\left( 2t-\sin 2t \right)\left| \begin{align} & \frac{\pi }{6} \\ & -\frac{\pi }{6} \\ \end{align} \right.=\frac{2\pi }{3}+\sqrt{3}.\)

Do đó \(S=\frac{2\pi +\sqrt{3}}{3}.\)