Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM. Biết \(HB=HC,\widehat{HBC}={{30}^{0}};\) góc giữa mặt phẳng \(\left( SH...

* Hướng dẫn giải

HB=HC nên tam giác HBC cân tại H, suy ra \(HM\bot BC\).

Trong mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) dựng \(AK\bot HC\Rightarrow HC\bot \left( SAK \right).\)

Mà góc giữa mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\) nên \(\widehat{SKA}={{60}^{0}}.\)

Giả sử BC=a.

\(\Rightarrow BM=\frac{a}{2}\Rightarrow AH=HM=BM.\tan {{30}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(\Rightarrow AK=AH.\sin {{60}^{0}}=\frac{a}{4}\Rightarrow SA=AK.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)

Trang bị hệ trục tọa độ Axyz với \(A\left( 0;0;0 \right),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{4} \right),H\left( \frac{\sqrt{3}}{6};0;0 \right),C\left( \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{2};0 \right),B\left( \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{-1}{2};0 \right).\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\left( \frac{\sqrt{3}}{6};0;\frac{-\sqrt{3}}{4} \right),\overrightarrow{HC}=\left( \frac{\sqrt{3}}{6};\frac{1}{2};0 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;1;0 \right).\)

Từ đó suy ra mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 3\sqrt{3};-3;2\sqrt{3} \right)\) là véc-tơ pháp tuyến.

Ta có \(\sin \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{BC} \right) \right|=\left| \frac{-3}{\sqrt{48}} \right|=\frac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\frac{\sqrt{13}}{4}.\)