Cho tích phân \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}}dx}\). Nếu đặt \(t=\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}\) thì khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=3{{\ln }^{2}}x+1\Rightarrow 2tdt=\frac{\text{6lnx}}{x}\text{dx}\Rightarrow \frac{\ln x}{x}\text{dx}=\frac{1}{3}tdt\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=1\Rightarrow t=1 \\ & x=e\Rightarrow t=2 \\ \end{align} \right.\)

Vậy \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{3{{\ln }^{2}}x+1}}dx}=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{dt}\)