Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số \(y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+\left( m+25 \right)x-1\) đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty \right)\).

* Hướng dẫn giải

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\). 

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m+25\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0, \forall x>1\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m+25\ge 0, \forall x>1\)

\(\Leftrightarrow m\ge -4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25, \forall x>1\).

Xét hàm số \(f\left( x \right)=-4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25\), với x>1.

\({f}'\left( x \right)=-12{{x}^{2}}+24x\).      \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -12{{x}^{2}}+24x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(m\ge -4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25,\,\forall x>1\Leftrightarrow m\ge -9\)

Vì m nguyên âm nên \(m\in \left\{ -9;\,-8;\,-7;\,-6;\,-5;\,-4;\,-3;\,-2;\,-1 \right\}\)

Vậy có 9 giá trị nguyên âm của m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\)