Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right),\;m...

* Hướng dẫn giải

+) Nhận xét: Đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) cắt trục hoành tại 5 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \( – 2;\;0;\;2;\;5;\;6\) nên phương trình \(f’\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm phân biệt là \({x_1} = – 2;\;{x_2} = 0;\;{x_3} = 2;\;{x_4} = 5;\;{x_5} = 6\). Hơn nữa \(f’\left( x \right) > 0,\;\forall x \in \left( { – 2;\;0} \right) \cup \left( {2;\;5} \right)\) và ngược lại \(f’\left( x \right) < 0,\;\forall x \in \left( {0;\;2} \right) \cup \left( {5;\;6} \right)\) Ta lập bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Gọi \({S_1},\;{S_2},\;{S_3},\;{S_4}\) lần lượt là diện tích của các hình phẳng \(\left( {{H_1}} \right),\;\left( {{H_2}} \right),\;\left( {{H_3}} \right),\;\left( {{H_4}} \right)\)

\(\left( {{H_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right),\,y = 0,\;x = – 2,\;x = 0.\)

\(\left( {{H_2}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right),\,y = 0,\;x = 2,\;x = 0.\)

\(\left( {{H_3}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right),\,y = 0,\;x = 2,\;x = 5.\)

\(\left( {{H_4}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f’\left( x \right),\,y = 0,\;x = 5,\;x = 6.\)

Ta có

\({S_1} > {S_2} \Leftrightarrow \int\limits_{ – 2}^0 {f’\left( x \right)dx} > \int\limits_0^2 { – f’\left( x \right)dx} \Leftrightarrow f\left( 0 \right) – f\left( { – 2} \right) > f\left( 0 \right) – f\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( { – 2} \right) < f\left( 2 \right)\;\;\;\left( 1 \right)\)

\({S_2} > {S_3} \Leftrightarrow \int\limits_0^2 { – f’\left( x \right)dx} > \int\limits_2^5 {f’\left( x \right)dx} \Leftrightarrow f\left( 0 \right) – f\left( 2 \right) > f\left( 5 \right) – f\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) < f\left( 5 \right)\;\;\;\left( 2 \right)\)

\({S_3} > {S_4} \Leftrightarrow \int\limits_2^5 {f’\left( x \right)dx} > \int\limits_5^6 { – f’\left( x \right)dx} \Leftrightarrow f\left( 5 \right) – f\left( 2 \right) > f\left( 5 \right) – f\left( 6 \right) \Leftrightarrow f\left( 2 \right) < f\left( 6 \right)\;\;\;\left( 3 \right)\)

+) Từ bảng biến thiên và (1), (2), (3) ta có:

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right),\;\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 2} \right)\) và \(T = f\left( 5 \right) + f\left( { – 2} \right)\).