Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;\,1} \right]$ và $f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}$, $\forall x \in \left[ {0;...

* Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, \forall x \in \left[ {0;\,1} \right]\) và \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;\,1} \right]\) nên \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}{\rm{d}}x}  \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} \) (1)

Đặt 1 – x = t thì \({\rm{d}}x = – {\rm{d}}t\), với \(x = 0 \Rightarrow t = 1\), với \(x = 1 \Rightarrow t = 0\)

Do đó: \(\int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = – \int\limits_1^0 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {f\left( {1 – x} \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) (2).

Lại có \(\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1 + \frac{2}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2} + 2\ln 2\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{2} + 2\ln 2 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{4} + \ln 2\)