Cho hàm số \(y=f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ bên cạnh và hàm số \(\left( C \right):y=f\left( x \right)-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-1\). Khẳng địn...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y=f\left( x \right)-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-1\Rightarrow y'=f'\left( x \right)-x\).

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y=x\) (đường thẳng này đi qua các điểm \(\left( -2;-2 \right),\left( 2;2 \right),\left( 4;4 \right)\) trên hình vẽ) ta có: \(f'\left( x \right)-x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & x=2 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.\)

Mặt khác \(x\to +\infty \Rightarrow f'\left( x \right)>x\) (Do đồ thị \(f'\left( x \right)\) nằm phía trên đường thẳng \(y=x\)) ta có bảng xét dấu:

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -2;2 \right)\) và \(\left( 4;+\infty  \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-2 \right)\) và \(\left( 2;4 \right)\).