Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z+1=0\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm. Gọi A là giao điểm của d và \(\left( P \right)\).

Gọi \(A\left( -2t;t;-1-2t \right)\in d\), cho \(A\in \left( P \right)\Rightarrow -2t+t+1+2t+1=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow A\left( 4;-2;3 \right)\in \Delta \).

Áp dụng công thức nhanh ta có: \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]=\left( 7;-2;5 \right)\).

Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là: \(\left\{ \begin{align} & x=4+7t \\ & y=-2+2t \\ & z=3+5t \\ \end{align} \right.\)