Cho phương trình \(2\sqrt{{{\log }_{3}}\left( 3x \right)}-3{{\log }_{3}}x=m-1\) (với m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình trên...

* Hướng dẫn giải

Ta có phương trình \(\Leftrightarrow 2\sqrt{1+{{\log }_{3}}x}-3{{\log }_{3}}x+1=m\).

Đặt \(t=\sqrt{1+{{\log }_{3}}x}\Rightarrow {{\log }_{3}}x={{t}^{2}}-1\ \ \left( t\ge 0 \right)\).

Khi đó ta có: \(2t-3\left( {{t}^{2}}-1 \right)+1=m\Leftrightarrow -3{{t}^{2}}+2t+4=m\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+2t+4\) với \(t\ge 0\) ta có \(f'\left( t \right)=-6t+2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\).

Mặt khác \(f\left( 0 \right)=4,\ f\left( \frac{1}{3} \right)=\frac{13}{3},\ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \).

Dựa vào BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m\le 4\).

Kết hợp điều kiện bài toán suy ra \(m=\left\{ 1;2;3;4 \right\}\).