Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{5}{6}\), mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-1...

* Hướng dẫn giải

Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên \(\left( P \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow{{{u}_{AI}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow AE:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}\), giao điểm của AI và \(\left( P \right)\) là \(E\left( \frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;-1;0 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{\frac{5}{6}}\), bán kính đường tròn giao tuyến là \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-d_{\left( I,\left( P \right) \right)}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên \(\left( P \right)\Rightarrow IK:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=-1+t \\ & z=t \\ \end{align} \right.\).

Giải \(1+t-1+t+t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\Rightarrow K\left( \frac{4}{3};-\frac{2}{3};\frac{1}{3} \right)\).

Ta có \(A{{M}^{2}}=A{{E}^{2}}+E{{M}^{2}}\) lớn nhất khi \(E{{M}_{\max }}\).

Mặt khác \(E{{M}_{\max }}=EK+r=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {{P}_{\max }}=\sqrt{EM_{\max }^{2}+A{{E}^{2}}}=\frac{\sqrt{210}}{6}\).