Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-1;4] như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình \(m\ge f\left( \frac{x}{2}+1 \right)+{{x}^{2}}-4x\) có nghiệm...

* Hướng dẫn giải

Điều kiện để bất phương trình \(m\ge f\left( \frac{x}{2}+1 \right)+{{x}^{2}}-4x\) có nghiệm trên đoạn [-1;4] là \(m\ge \underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{Min}}\,g(x)\)

Xét hàm số \(g(x)=f\left( \frac{x}{2}+1 \right)+{{x}^{2}}-4x\) với \(x\in \left[ -1;4 \right]\)

Ta có: \(g'(x)=\frac{1}{2}f'\left( \frac{x}{2}+1 \right)+2(x-2).\) Đặt \(t=\left( \frac{x}{2}+1 \right)\)

Ta thấy \(x\in (2;4)\Rightarrow t\in \left( 2;3 \right)\Rightarrow f'\left( t \right)>0\Rightarrow g'\left( x \right)=\frac{1}{2}f'\left( \frac{x}{2}+1 \right)+2\left( x-2 \right)>0\)

Với \(x\in \left( -1;4 \right)\Rightarrow t\in \left( \frac{1}{2};2 \right)\Rightarrow f'(t)<0\Rightarrow g'(t)<0\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn [-1;4] như sau

Mặt khác \(g(2)=f(2)+{{2}^{2}}-4.2=-5\)

Suy ra \(m\ge -5\) là giá trị cần tìm. Kết hợp \(m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}\Rightarrow m=\left\{ -5;-4;-3;-2;-1 \right\}\)