Xét các số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=1\). Đặt \(\text{w}=\frac{2\text{z}-i}{2+iz}\), giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| \text{w}+3i \right|\) là

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\text{w}=\frac{2\text{z}-i}{2+iz}\Leftrightarrow \text{w}(2+iz)=2\text{z}-i\Leftrightarrow 2w+\text{w}iz=2z-i\)

\(\text{w}=\frac{2\text{z}-i}{2+iz}\)

Đặt \(\text{w}=x+yi\Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{2}}+{{(2y+1)}^{2}}=\left[ {{(y+2)}^{2}}+{{x}^{2}} \right]\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}+3{{y}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\).

Vậy w thuộc đường tròn tâm O(0;0) bán kính \(R=1\Rightarrow {{P}_{\max }}=3+1=4\).