Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

* Hướng dẫn giải

Trong \(\left( ABCD \right),\) kẻ \(AH\bot BD\)

Trong \(\left( SAH \right),\) kẻ \(AK\bot SH\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & BD\bot SA \\ & BD\bot AH \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow BD\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BD\bot AK\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AK\bot SH \\ & AK\bot BD \\ \end{align} \right.\Rightarrow AK\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBD \right) \right)=AK.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABD\) vuông tại A và có đường cao AH ta có:

\(AH=\frac{AB.AD}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{a.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABD\) vuông tại A và có đường cao AK ta có:

\(AK=\frac{SA.AH}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}}}=\frac{a.\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}}}=\frac{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{15}}{3}}=\frac{a\sqrt{10}}{5}\)