Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right)-xf\left( x \right)=0,f\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(f\l...

* Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có: \(\frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=x\Rightarrow \int{\frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx=\int{xdx}}\)

\(\Rightarrow \ln \left[ f\left( x \right) \right]=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+C.\) (do \(f\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R}\))

Do đó \(\ln \left[ f\left( 0 \right) \right]=\frac{1}{2}{{.0}^{2}}+C\Rightarrow C=0\Rightarrow \ln f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\)

\(\Rightarrow f\left( x \right)={{e}^{\frac{1}{2}{{x}^{2}}}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=\sqrt{e}.\)