Tìm các giá trị của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)-mx+3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right)\).

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y=\frac{1}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)-mx+3\) có tập xác định \(D=\left( -\infty ;+\infty  \right)\)

Ta có \({y}'=\frac{x}{{{x}^{2}}+4}-m\)

Khi đó hàm số \(y=\frac{1}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+4 \right)-mx+3\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;+\infty  \right)\Leftrightarrow y'\le 0,\forall x\in \left( -\infty ;+\infty  \right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{x}{{{x}^{2}}+4}-m\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{x}{{{x}^{2}}+4}\le m,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\ge \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{max}}\,\,f(x)\) với \(f(x)=\frac{x}{{{x}^{2}}+4}\)

Xét hàm số \(f(x)=\frac{x}{{{x}^{2}}+4}\) ta có: \({{f}^{'}}(x)=\frac{4-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}\Rightarrow {{f}^{'}}(x)=0\Leftrightarrow x=\pm 2\).

BBT

Từ BBT ta suy ra: \(\underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{max}}\,\,f(x)=f(2)=\frac{1}{4}\). Suy ra các giá trị của tham số m cần tìm là: \(m\ge \frac{1}{4}\)