Cho các số thực a,b,c thỏa mãn \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2a-4b=4\). Tính P=a+2b+3c khi biểu thức \(\left| 2a+b-2c+7 \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2a-4b=4\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}=9\)

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức BCS, ta có kết quả sau:

\(\begin{align} & \left| 2a+b-2c+7 \right|=\left| 2\left( a-1 \right)+\left( b-2 \right)-2c+11 \right|\le \left| 2\left( a-1 \right)+\left( b-2 \right)-2c \right|+11 \\ & \overset{BCS}{\mathop \le }\,\sqrt{\left[ {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\left[ {{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}} \right]}+11=20. \\ \end{align} \)

Đẳng thức xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) - 2c > 0\\ \frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{1} = \frac{c}{{ - 2}}\\ {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 3\\ c = - 2 \end{array} \right.\)

Khi đó: \(P=a+2b+3c=3+2.3+3.\left( -2 \right)=3.\)