Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 1;\,4 \right]\) và thỏa mãn hệ thức . Tính \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \rig...
Câu hỏi :
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 1;\,4 \right]\) và thỏa mãn hệ thức \(\left\{ \begin{align} & f\left( 1 \right)+g\left( 1 \right)=4 \\ & g\left( x \right)=-x.{f}'\left( x \right);\,\,\,\,\,f\left( x \right)=-x.{g}'\left( x \right) \\ \end{align} \right.\). Tính \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\).
A. 8ln2
B. 3ln2
C. 6ln2
D. 4ln2
* Đáp án
A
* Hướng dẫn giải
Ta có \(f\left( x \right)+g\left( x \right)=-x\left[ {f}'\left( x \right)+{g}'\left( x \right) \right]\)
\(\Rightarrow \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}=-\int{x\left[ {f}'\left( x \right)+{g}'\left( x \right) \right]\text{d}x}\)
\(\Rightarrow \int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}=-x\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]+\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}\)
\(\Rightarrow -x\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]=C\Rightarrow f\left( x \right)+g\left( x \right)=-\frac{C}{x}\). Vì \(f\left( 1 \right)+g\left( 1 \right)=-C\Rightarrow C=-4\)
Do đó \(f\left( x \right)+g\left( x \right)=\frac{4}{x}\).
Vậy \(I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]\text{d}x}=8\ln 2\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Trưng Vương lần 3
Copyright © 2021 HOCTAP247