Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = {2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}\) đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y’ = \left( {3{x^2} – 2x + m} \right){.2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}.\ln 2\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right) \Leftrightarrow y’ \ge 0, \forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {3{x^2} – 2x + m} \right){.2^{{x^3} – {x^2} + mx + 1}}.\ln 2 \ge 0, \forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} – 2x + m \ge 0, \forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge – 3{x^2} + 2x, \forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left( {1;2} \right)} \left( { – 3{x^2} + 2x} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = – 3{x^2} + 2x\), với \(x \in \left( {1;2} \right)\).

Ta có: \(f’\left( x \right) = – 6x + 2\).

Cho \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\).

Bảng biến thiên:

Vậy \(m \ge – 1\) thỏa yêu cầu bài toán.