Cho hàm số \(y = \frac{{\ln x – 4}}{{\ln x – 2m}}\) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1;{\rm{e}}} \right)\...

* Hướng dẫn giải

\(y = f\left( x \right) = \frac{{\ln x – 4}}{{\ln x – 2m}}\)

Đặt \(t = \ln x\), điều kiện \(t \in \left( {0;1} \right)\)

\(g\left( t \right) = \frac{{t – 4}}{{t – 2m}}; g’\left( t \right) = \frac{{ – 2m + 4}}{{{{\left( {t – 2m} \right)}^2}}}\)

Để hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;e} \right)\) thì hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow g’\left( t \right) > 0,\;t \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \frac{{ – 2m + 4}}{{{{\left( {t – 2m} \right)}^2}}} > 0,t \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2m + 4 > 0\\2m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2} \le m < 2\\m \le 0\end{array} \right.\)

S là tập hợp các giá trị nguyên dương \( \Rightarrow S = \left\{ 1 \right\}\).

Vậy số phần tử của tập S là 1.