Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hs \(y = \frac{{x – {m^2} – 2}}{{x – m}}\) trên đoạn

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x \ne m\).

Hàm số đã cho xác định trên \(\left[ {0\,;\,4} \right]\) khi \(m \notin \left[ {0;4} \right]\) (*).

Ta có \(y’ = \frac{{{m^2} – m + 2}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m – \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}}}{{{{\left( {x – m} \right)}^2}}} > 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;4} \right]\).

Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \frac{{2 – {m^2}}}{{4 – m}}\).

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,4} \right]} y = – 1 \Leftrightarrow \frac{{2 – {m^2}}}{{4 – m}} = – 1 \Leftrightarrow {m^2} + m – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = – 3\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện (*) ta được m = – 3. Do đó có một giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.