Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x\left( {2017 + \sqrt {2019 – {x^2}} } \right)\) trên tập xác định của nó. Tính M – m.

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D = \left[ { – \sqrt {2019} ;\sqrt {2019} } \right]\)

Ta có \(y’ = 2017 + \sqrt {2019 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2019 – {x^2}} }}\)

\( \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow 2017 + \sqrt {2019 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2019 – {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2017\sqrt {2019 – {x^2}} + 2019 – 2{x^2}}}{{\sqrt {2019 – {x^2}} }} = 0\)

Trên D, đặt \(t = \sqrt {2019 – {x^2}} , t \ge 0\). Ta được:

\(2{t^2} + 2017t – 2019 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = – \frac{{2019}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \sqrt {2019 – {x^2}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \sqrt {2018} \\x = \sqrt {2018} \end{array} \right.\)

Khi đó \(f\left( { – \sqrt {2018} } \right) = – 2018\sqrt {2018} ; f\left( {\sqrt {2018} } \right) = 2018\sqrt {2018}\)

\(f\left( { – \sqrt {2019} } \right) = – 2017\sqrt {2019} ; f\left( {\sqrt {2019} } \right) = 2017\sqrt {2019} \)

Suy ra \(m = \mathop {\min y}\limits_D = – 2018\sqrt {2018} , M = \mathop {\max y}\limits_D = 2018\sqrt {2018} \)

Vậy \(M – m = 4036\sqrt {2018} .\)