Biết rằng \(x{{\operatorname{e}}^{x}}\) là một nguyên hàm của \(f\left( -x \right)\) trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right)\). Gọi \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm c...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(f\left( -x \right)={{\left( x{{\operatorname{e}}^{x}} \right)}^{\prime }}={{\operatorname{e}}^{x}}+x{{\operatorname{e}}^{x}}\), \(\forall x\in \left( -\infty ;+\infty  \right)\).

Do đó \(f\left( -x \right)={{\operatorname{e}}^{-\left( -x \right)}}-\left( -x \right){{\operatorname{e}}^{-\left( -x \right)}}\), \(\forall x\in \left( -\infty ;+\infty  \right)\).

Suy ra \(f\left( x \right)={{\operatorname{e}}^{-x}}\left( 1-x \right)\), \(\forall x\in \left( -\infty ;+\infty  \right)\).

Nên \({f}'\left( x \right)={{\left[ {{\operatorname{e}}^{-x}}\left( 1-x \right) \right]}^{\prime }}={{\operatorname{e}}^{-x}}\left( x-2 \right)\)\(\Rightarrow {f}'\left( x \right){{\operatorname{e}}^{x}}={{\operatorname{e}}^{-x}}\left( x-2 \right).{{\operatorname{e}}^{x}}=x-2\).

Bởi vậy \(f\left( x \right)=\int{\left( x-2 \right)\operatorname{d}x}=\frac{1}{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+C\).

Từ đó \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{2}{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+C=C+2\); \(f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=-1\).

Vậy \(f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}-1\Rightarrow F\left( -1 \right)=\frac{1}{2}{{\left( -1-2 \right)}^{2}}-1=\frac{7}{2}\).