Biết rằng hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m\) chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Giá trị tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\) Ta có \(y'=3{{x}^{2}}+6x+m\)

Do \(a=3>0\) nên để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 thì \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn: \(\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ \left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 - 3m > 0\\ {\left| {{x_2} - {x_1}} \right|^2} = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ {\left( { - 2} \right)^2} - 4.\frac{m}{3} = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m = - \frac{{15}}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{{15}}{4} \end{array}\)