Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xq của một hình nón bởi một m�

* Hướng dẫn giải

Gọi R là bán kính của khối cầu. Khi đó thể tích nước tràn ra ngoài là thể tích của một nửa khối cầu nên \(\frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=54\sqrt{3}\pi \Leftrightarrow R=3\sqrt{3}\).

Do đó chiều cao của thùng nước là \(h=\frac{2}{3}.2R=4\sqrt{3}\).

Cắt thùng nước bởi thiết diện qua trục ta được hình thang cân ABCD với AB=3CD. Gọi O là giao điểm của AD và BC thì tam giác OAB cân tại O.

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB và I là giao điểm của OH và CD \(\to I\) là trung điểm của DC nên \(DI=\frac{1}{3}AH\).

Ta có \(\frac{OI}{OH}=\frac{DI}{AH}=\frac{1}{3}\) \(\to OH=\frac{3}{2}HI=6\sqrt{3}\)

Gọi K là hình chiếu của H trên OA thì \(HK=R=3\sqrt{3}\)

Tam giác OHA vuông tại H có đường cao HK nên

\(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{O}^{2}}}+\frac{1}{A{{H}^{2}}}\to \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{H{{K}^{2}}}-\frac{1}{H{{O}^{2}}}=\frac{1}{36}\)\(\to AH=6\to DI=2\)

Thể tích thùng đầy nước là \(\frac{h\pi \left( A{{H}^{2}}+D{{I}^{2}}+AH.DI \right)}{3}=\frac{4\sqrt{3}\pi \left( {{6}^{2}}+{{2}^{2}}+6.2 \right)}{3}=\frac{208\sqrt{3}\pi }{3}\)

Do đó thể tích nước còn lại là\(\frac{208\sqrt{3}\pi }{3}-54\sqrt{3}\pi =\frac{46\sqrt{3}\pi }{3}\left( d{{m}^{3}} \right)\).