Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm \(A\left( 1;1;1 \right), B\left( 2;0;2 \right), C\left( -1;-1;0 \right), D\left( 0;3;4 \right)\). Trên...
Câu hỏi :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm \(A\left( 1;1;1 \right), B\left( 2;0;2 \right), C\left( -1;-1;0 \right), D\left( 0;3;4 \right)\). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \({B}',{C}',{D}'\) sao cho \(\frac{AB}{A{B}'}+\frac{AC}{A{C}'}+\frac{AD}{A{D}'}=4\) và tứ diện \(A{B}'{C}'{D}'\) có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng \(\left( {B}'{C}'{D}' \right)\) có dạng là ax+by+cz-d=0. Tính a-b+c+d
A. 23
B. 19
C. 21
D. 20
* Đáp án
B
* Hướng dẫn giải
.png)
Ta có \(\frac{{{V}_{ABCD}}}{{{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}}=\frac{AB}{A{B}'}\cdot \frac{AC}{A{C}'}\cdot \frac{AD}{A{D}'}\le {{\left( \frac{\frac{AB}{A{B}'}+\frac{AC}{A{C}'}+\frac{AD}{A{D}'}}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{3}}\).
Do đó thể tích của \(A{B}'{C}'{D}'\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\frac{AB}{A{B}'}=\frac{AC}{A{C}'}=\frac{AD}{A{D}'}=\frac{4}{3}\).
Khi đó \(\overrightarrow{A{B}'}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\Rightarrow {B}'\left( \frac{7}{4};\frac{1}{4};\frac{7}{4} \right)\) và \(\left( {B}'{C}'{D}' \right)\ \text{//}\ \left( BCD \right)\).
Mặt khác \(\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left( 4;10;-11 \right)\).
Vậy \(\left( {B}'{C}'{D}' \right):4\left( x-\frac{7}{4} \right)+10\left( y-\frac{1}{4} \right)-11\left( z-\frac{7}{4} \right)=0\)\(\Leftrightarrow 16x+40y-44z+39=0\).
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 3
Copyright © 2021 HOCTAP247