Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại có \(AB=a,A{A}'=a\sqrt{2}\). Góc giữa đường thẳng \({A}'C\) với mặt phẳng \(\left( A{A}'{B}'B \rig...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & CB\bot AB \\ & CB\bot A{A}' \\ & A{A}'\cap AB=A \\ \end{align} \right.\Rightarrow CB\bot \left( AB{B}'{A}' \right)\)

Suy ra \({A}'B\) là hình chiếu của \({A}'C\) lên mặt phẳng \(\left( AB{B}'{A}' \right)\).

Do đó: \(\left( {A}'C,\left( A{A}'{B}'B \right) \right)=\left( {A}'C,{A}'B \right)=\widehat{B{A}'C}\).

Xét \(\Delta {A}'AB\) vuông tại A, ta có: \({A}'B=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{3}\).

Xét \(\Delta {A}'BC\) vuông tại B, ta có: \(\tan B{A}'C=\frac{BC}{{A}'B}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

\(\Rightarrow \widehat{B{A}'C}=30{}^\circ \).

\(\Rightarrow \left( {A}'C,\left( A{A}'{B}'B \right) \right)=30{}^\circ \).