Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật \(AB=a,AD=a\sqrt{3}, SA\bot \left( ABCD \right)\) và SA=2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằn...

* Hướng dẫn giải

Trong \(\left( ABCD \right)\) kẻ \(AH\bot BD\left( H\in DB \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & BD\bot AH \\ & BD\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAH \right)\)

Trong \(\left( SAH \right)\) kẻ \(AK\bot SH\)

Mà \(BD\bot \left( SAH \right)\)

và \(AK\subset \left( SAH \right)\)

\(\Rightarrow AK\bot BD\)

Do đó \(AK\bot \left( SBD \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AK\)

Xét \(\Delta ABD\) có: \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét \(\Delta SAH\) có: \(\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{H}^{2}}}\Rightarrow AK=\frac{2\sqrt{57}a}{19}\)

Do đó \(d\left( A,\left( SBD \right) \right)=\frac{2\sqrt{57}a}{19}\)