Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi \(y \) có không quá 10 số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left( {{3}^{x+1}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-y \right)...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{3}^{x}}>0\) thì ta có bất phương trình \((3t-\sqrt{3})(t-y)<0\) hay \)(t-\frac{\sqrt{3}}{3})(t-y)<0\text{ }(*).\)

Vì \(y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\) nên \(y>\frac{\sqrt{3}}{3}\), do đó \((*)\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}<t<y\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}<{{3}^{x}}<y\) Do \(y\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)

\(\Leftrightarrow -\frac{1}{2}<x<{{\log }_{3}}y.\)

Do mỗi giá trị \(y\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)có không quá 10 giá trị nguyên của \(x\in \left( -\frac{1}{2};{{\log }_{3}}y \right)\)

nên \(0\le {{\log }_{3}}y\le 10\) hay \(\Leftrightarrow 1\le y\le {{3}^{10}}=59049\), từ đó có \(y\in \{1,2,\ldots ,59049\}.\)

Vậy có 59049 giá trị nguyên dương của \(y\).