Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, \(SA\bot \left( ABC \right)\), AB=a. Biết góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng \(30{}^\circ...

* Hướng dẫn giải

Từ A kẻ \(AH\bot SB\) tại B.

Ta có \(\left\{ \begin{align} & BC\bot AB \\ & BC\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH\)

Lại có \(\left\{ \begin{align} & AH\bot SB \\ & AH\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\)

Từ đó suy ra \(\left( AC,\left( SBC \right) \right)=\left( AC,HC \right)=\widehat{ACH}=30{}^\circ \).

Tam giác ABC vuông cân tại B nên \(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\).

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H:AH=AC.\sin \widehat{ACH}=a\sqrt{2}.\sin 30{}^\circ =\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A:\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{S{{A}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=a\).

Diện tích tam giác ABC là \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}A{{B}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\).

Thể tích khối chóp S.ABC là \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SA=\frac{{{a}^{3}}}{6}\).