Cho hàm số \(f\left( x \right)\) và có \(y={f}'\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right)=f\left...

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(h\left( x \right)=f\left( {{x}^{3}} \right)-x\)

Ta có

\({h}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}{f}'\left( {{x}^{3}} \right)-1\)

\({h}'\left( x \right)=0\)\(\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{3}} \right)=\frac{1}{3{{x}^{2}}}\) \(\left( x\ne 0 \right)\)      \(\left( 1 \right)\)

Đặt \({{x}^{3}}=t\)\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{t}\Rightarrow {{x}^{2}}=\sqrt[3]{{{t}^{2}}}\).

Khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({f}'\left( t \right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{t}^{2}}}}\)                                             (2)

Vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}\), \(y={f}'\left( x \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, ta được:

Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm \({{t}_{1}}=a>0\) và \({{t}_{2}}=b<0\).

\(\Rightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x=\sqrt[3]{a}>0\) và \(x=\sqrt[3]{b}<0\).

Bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\), \(g\left( x \right)=h\left( \left| x \right| \right)\).

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(g\left( x \right)=h\left( \left| x \right| \right)=f\left( {{\left| x \right|}^{3}} \right)-\left| x \right|\) có 1  điểm cực đại.