Trong không gian \(Oxyz\) Cho \(d\,:\,\,\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-3}{2}\) và hai điểm \(A\left( \,3;\,1;\,2 \right);\,\,B\left( \,-1;\,3;-2 \right)\) Mặt cầu tâm \(I\) b...

* Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm của \(AB\Rightarrow E\left( 1;2;0 \right)\) và \(IE=\sqrt{{{R}^{2}}-9}\)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là\(\left( \alpha  \right)\,\,:\,2x-y+2z=0\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d.\)

Gọi M là hình chiếu vuông góc của \(E\) lên \(d\Rightarrow EM={{d}_{\left( E;d \right)}}=9\)

Toạ độ M là nghiệm hệ \(\left\{ \begin{align} & x=2t+4 \\ & y=-t+5 \\ & z=2t+3 \\ & 2x-y+2\text{z}=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow t=-1\Rightarrow M\left( 2;6;1 \right)\Rightarrow ME=3\sqrt{2}\)

Vì \(\left( \alpha  \right)\bot d\) và \(IH+IE\ge EM\Rightarrow \,R\)nhỏ nhất \(\Leftrightarrow \,I,H,E\) thẳng hàng.

\(\Rightarrow \,R+\sqrt{{{R}^{2}}-9}=3\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{9\sqrt{2}}{4}\)

Vậy \(\Rightarrow \overrightarrow{EI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{EH}\Rightarrow I\left( \frac{5}{4};3;\frac{1}{4} \right)\Rightarrow \overrightarrow{IA}=\left( \frac{7}{4};-2;\frac{7}{4} \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{IA} \right]=\left( -18;0;18 \right)=-18\left( 1;0;-1 \right)\)

\(\left( P \right):\,\,2x-2\text{z-2}=0\Rightarrow b=0;c=-2;d=-2\Rightarrow d+b-c=0\)