Cho hàm số \(f\left( x \right),\) đồ thị của hàm số \(y={{f}^{/}}\left( x \right)\) là đường cong như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2x-1 \right)+...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=2x-1\Rightarrow t\in \left[ 0;3 \right]\) , xét hàm số \(h\left( t \right)=f\left( t \right)+3t+3\)  trên \(\left[ 0;3 \right]\) .

Ta có \({{h}^{/}}\left( x \right)={{f}^{/}}\left( x \right)+3, {{h}^{/}}\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=1 \\ & t=2 \\ \end{align} \right. .\)

\({{h}^{/}}\left( x \right)>0\Leftrightarrow {{f}^{/}}\left( x \right)>-3\Leftrightarrow x\in \left( 1;3 \right)\)

\({{h}^{/}}\left( x \right)<0\Leftrightarrow {{f}^{/}}\left( x \right)<-3\Leftrightarrow x\in \left( 0;1 \right)\)

Ta có bẳng biến thiên sau

Ta có \(\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,h\left( t \right)=h\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)+6\) .