Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và có \(AB=a,\,BC=a\sqrt{3}\). Mặt bên \(SAB\)là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\l...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn \(AB\). Vì \(\Delta SAB\) là tam giác đều nên \(SK\bot AB\).

\(\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến \(AB\).

\(SK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SK.{{S}_{\Delta ABC}}\).

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB=a,\,BC=a\sqrt{3}\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}a.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}\).

\(\Delta SAB\) là tam giác đều \(\Rightarrow SK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SK.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\).