Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+2x\) và \(f\left( 0 \right)=1.\) Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)={{f}^{3}}\left( {{x}...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(f\left( x \right)=\int{\left( 4{{x}^{3}}+2x \right)\,}dx={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+C\) và \(f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1.\)

Do đó ta có: \(f\left( x \right)={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1>0\,,\ \forall x.\)

Ta có: \(g'\left( x \right)=3(2x-2).{{f}^{2}}({{x}^{2}}-2x-3).f'({{x}^{2}}-2x-3)\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - 2 = 0\\ 4{\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)^3} + 2\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số \(y=g\left( x \right)\) có hai cực tiểu