Tổng các nghiệm của phương trình sau \({{7}^{x-1}}=6{{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)+1\) bằng

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x>\frac{5}{6}.\)

Đặt \(y-1={{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right)\) thì ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{align} & {{7}^{x-1}}=6\left( y-1 \right)+1 \\ & y-1={{\log }_{7}}\left( 6x-5 \right) \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{7}^{x-1}}=6y-5 \\ & {{7}^{y-1}}=6x-5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{7}^{x-1}}+6x={{7}^{y-1}}+6y (2)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{7}^{t-1}}+6t\) với \(t>\frac{5}{6}\) thì \(f'\left( t \right)={{7}^{t-1}}\ln 7+6>0,\forall t>\frac{5}{6}\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến nên

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=f\left( y \right)\Leftrightarrow x=y\) khi đó ta có phương trình \({{7}^{x-1}}-6x+5=0.\) (3)

Xét hàm số \(g\left( x \right)={{7}^{x-1}}-6x+5\) với \(x>\frac{5}{6}\) thì \(g'\left( x \right)={{7}^{x-1}}\ln 7-6\Rightarrow g''\left( x \right)={{7}^{x-1}}{{\left( \ln 7 \right)}^{2}}>0\) \(\forall x>\frac{5}{6}\)

Nên suy ra phương trình \(g\left( x \right)=0\) có không quá hai nghiệm.

Mặt khác \(g\left( 1 \right)=g\left( 2 \right)=0\) nên \(x=1\) và \(x=2\) là 2 nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là \(x=1\) và \(x=2\).

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 1+2=3.