Cho parabol \(\left( {{P}_{1}} \right):y=-{{x}^{2}}+4\) cắt trục hoành tại hai điểm \(A\), \(B\) và đường thẳng \(d:y=a\) \(\left( 0...

* Hướng dẫn giải

- Gọi \(A\), \(B\) là các giao điểm của \(\left( {{P}_{1}} \right)\) và trục \(Ox\)\(\Rightarrow A\left( -2;0 \right)\), \(B\left( 2;0 \right)\)\(\Rightarrow AB=4\).

- Gọi \(M\), \(N\) là giao điểm của \(\left( {{P}_{1}} \right)\) và đường thẳng \(d\)\(\Rightarrow M\left( -\sqrt{4-a};a \right), N\left( \sqrt{4-a};a \right)\) \(\Rightarrow MN=2\sqrt{4-a}\).

- Nhận thấy: \(\left( {{P}_{2}} \right)\) là parabol có phương trình \(y=-\frac{a}{4}{{x}^{2}}+a\).

- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta được:

\({{S}_{1}}=2\int\limits_{a}^{4}{\sqrt{4-y}.\text{d}y}=-\frac{4}{3}\left. \left( {{\left( 4-y \right)}^{\frac{3}{2}}} \right) \right|_{a}^{4}=\frac{4}{3}\left( 4-a \right)\sqrt{4-a}\).

\({{S}_{2}}=2\int\limits_{0}^{2}{\left( -\frac{a}{4}{{x}^{2}}+a \right).\text{d}x}=2\left. \left( -\frac{a{{x}^{3}}}{12}+ax \right) \right|_{0}^{2}=\frac{8a}{3}\).

- Theo giả thiết: \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\)\(\Rightarrow \frac{4}{3}\left( 4-a \right)\sqrt{4-a}=\frac{8a}{3}\)\(\Leftrightarrow {{\left( 4-a \right)}^{3}}=4{{a}^{2}}\)\(\Leftrightarrow {{a}^{3}}-8{{a}^{2}}+48a=64\).