Cho hai số phức \(u,\,v\) thỏa mãn \(\left| u \right|=\left| v \right|=10\) và \(\left| 3u-4v \right|=50\). Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left| 4u+3v-10i \right|\).

* Hướng dẫn giải

Ta có \({{\left| z \right|}^{2}}=z.\overline{z}\). Đặt \(T=\left| 3u-4v \right|\), \(m=\left| 4u+3v \right|\).

Khi đó \({{T}^{2}}=\left( 3u-4v \right)\left( 3\overline{u}-4\overline{v} \right)=9{{\left| u \right|}^{2}}+16{{\left| v \right|}^{2}}-12\left( u\overline{v}+v\overline{u} \right)\).

Tương tự ta có \({{M}^{2}}=\left( 4u+3v \right)\left( 4\overline{u}+3\overline{v} \right)=16{{\left| u \right|}^{2}}+9{{\left| v \right|}^{2}}+12\left( u\overline{v}+v\overline{u} \right)\).

Do đó \({{M}^{2}}+{{T}^{2}}=25\left( {{\left| u \right|}^{2}}+{{\left| v \right|}^{2}} \right)=5000\).

Suy ra \({{M}^{2}}=5000-{{T}^{2}}=5000-{{50}^{2}}=2500\) hay\(m=50\).

Áp dụng \(\left| z+{z}' \right|\le \left| z \right|+\left| {{z}'} \right|\)ta có

\(\left| 4u+3v-10i \right|\le \left| 4u+3v \right|+\left| -10i \right|=50+10=60\).

Suy ra \(\max \left| 4u+3v-10i \right|=60\).