Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+2m \right)={{\log }_{2}}\left( x+m \right)\) có nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x + 2m > 0\\ x + m > 0 \end{array} \right.\left( 1 \right).\)

Ta có: \({{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+2m \right)={{\log }_{2}}\left( x+m \right)\)

      \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2m=x+m\)

      \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+m=0\Leftrightarrow m=-{{x}^{2}}+4x.\)

Thay \(m=-{{x}^{2}}+4x\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x + 2\left( { - {x^2} + 4x} \right) > 0\\ x - {x^2} + 4x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - {x^2} + 5x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 5.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4x\) trên \(\left( 0;5 \right).\)

\(f'\left( x \right)=-2x+4;f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2.\)

Bảng biến thiên

Phương trình đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow -5<m\le 4.\)

Do \(m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\}.\)