Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn \({{\log }_{5}}\left( \frac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \({{\log }_{5}}\left( \frac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)-{{\log }_{5}}\left( a+b \right)=a+3b-4\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( a+b \right)+5a+5b+1\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( 5a+5b \right)+\left( 5a+5b \right)\) \(\left( 1 \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=t+{{\log }_{5}}t\) với \(t>0.\)

Ta có \(f'\left( t \right)=1+\frac{1}{t\ln 5}>0,\forall t>0.\) Do đó \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right).\)

Khi đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4a+2b+5=5a+5b\Leftrightarrow a=5-3b\).

Thay vào \(T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10{{b}^{2}}-30b+25=10{{\left( b-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\frac{5}{2}\ge \frac{5}{2}.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} b = \frac{3}{2}\\ a = \frac{1}{2} \end{array} \right..\)