Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình \(\frac{{{f}^{3}}\left( x \right)+3{{f}^{2}}\left( x...

* Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị ta nhận thấy \(3f\left( x \right)+1>0,\forall x\in \mathbb{R}.\)

Do đó \(\frac{{{f}^{3}}\left( x \right)+3{{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+2}{\sqrt{3f\left( x \right)+1}}=3f\left( x \right)+2\)

\(\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)+3{{f}^{2}}\left( x \right)+3f\left( x \right)+1+f\left( x \right)+1=\sqrt{3f\left( x \right)+1}\left( 3f\left( x \right)+1+1 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right)+1 \right]}^{3}}+\left[ f\left( x \right)+1 \right]={{\left[ \sqrt{3f\left( x \right)+1} \right]}^{3}}+\sqrt{3f\left( x \right)+1}\text{ }\left( 1 \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\) với \(t\in \mathbb{R}.\)

Ta có \(f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}.\) Do đó \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Khi đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)+1=\sqrt{3f\left( x \right)+1}\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)+1=3f\left( x \right)+1.\)

\(\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & f\left( x \right)=0 \\ & f\left( x \right)=1 \\ \end{align} \right..\)

Dựa vào hình vẽ ta suy ra phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 3 nghiệm và phương trình \(f\left( x \right)=1\) có 6 nghiệm (các nghiệm này không trùng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=0).\)

Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm.