Cho hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh bằng A. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( CNQ \right).\)

* Hướng dẫn giải

Gọi \(\left\{ O \right\}=MP\cap NQ,\left\{ H \right\}=AP\cap CO.\)

Nhận xét: Hình chiếu vuông góc của AP lên mặt phẳng \(\left( CDQP \right)\) là \(DP\bot CQ\) suy ra \(AP\bot CQ\); hình chiếu vuông góc của AP lên mặt phẳng \(\left( MNPQ \right)\) là \(MP\bot NQ\) suy ra \(AN\bot NQ.\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l} AP \bot NQ\\ AP \bot CQ\\ NQ,CQ \subset \left( {CNQ} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AP \bot \left( {CNQ} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {CNQ} \right)} \right) = AH.\)

Vì \(AC//OP\Rightarrow \frac{AH}{HP}=\frac{AC}{OP}=2\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AP.\)

Dễ thấy \(AP=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{M}^{2}}}=a\sqrt{3}.\)

Vậy \(D\left( A,\left( CNQ \right) \right)=AH=\frac{2}{3}a\sqrt{3}\Rightarrow d\left( A,\left( CNQ \right) \right)=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\)